Determine the number of 8-tuples ( _1, _2, , _8 ) such that _1, _2,...

$\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3, \ldots \ldots \ldots \ldots . \epsilon_8 \in\{-1,1\} .$ $\epsilon_1+2 \epsilon_2+3 \epsilon_3+\ldots \ldots \ldots+8 \epsilon_8$ $\Rightarrow \left(\epsilon_1+4 \epsilon_4+7 \epsilon_7\right)+\left(2 \epsilon_2+5 \epsilon_5+8 \epsilon_8\right)+3\left(\epsilon_3+2 \epsilon_6\right)$\Rightarrow \left(\epsilon_1+\epsilon_4+\epsilon_7\right)+2\left(\epsilon_2+\epsilon_5+\epsilon_8\right)+3 \mathrm{~m} \quad(\mathrm{~m}$is an integer$) \Rightarrow \left(\epsilon_1-\epsilon_2\right)+\left(\epsilon_4-\epsilon_5\right)+\left(\epsilon_7-\epsilon_8\right)+3 q \quad$($q$is an integer)$\epsilon_1-\epsilon_2=2,0,-2 \&$similarly others$p_{12}+p_{45}+p_{78}+3 q$(where$\mathrm{p}_{12}=\epsilon_1-\epsilon_2$,$p_{45}=\epsilon_4-\epsilon_5$,$\left.\mathbf{p}_{78}=\epsilon_7-\epsilon_8\right)$p_{12}=p_{45}=p_{78}=0 \quad \Rightarrow \quad 8$ cases $p_{12}=p_{45}=p_{78}=2($ or -2$) \quad \Rightarrow \quad 2$ cases $\mathrm{p}_{12}=2, \mathrm{p}_{45}=-2, \mathrm{p}_{78}=0 \quad \Rightarrow \quad(2 \times 6)$ cases Hence number of tuples $=22 \times 4=88$ $\downarrow$ ( $\epsilon_3 \& \epsilon_6$ can be any one of 1 or -1 )