Let y = y x be the solution of the differential equation sec 2 x d x + e 2 y tan 2 x + tan x d y = 0 , 0 < x < π 2 , y π 4 = 0 . If y π 6 = α , then e 8 α is equal to ______.

Step-by-step solution

Given, sec 2 x d x + e 2 y tan 2 x + tan x d y = 0 , ⇒ sec 2 d x d y + e 2 y tan 2 x + tan x = 0 Now, let tan x = t ⇒ sec 2 x d x d y = d t d y ⇒ d t d y + e 2 y × t 2 + t = 0 ⇒ d t d y + t = − t 2 . e 2 y ⇒ 1 t 2 d t d y + 1 t = − e 2 y Now, taking 1 t = u ⇒ − 1 t 2 d t d y = d u d y ⇒ − d u d y + u = − e 2 y ⇒ d u d y − u = e 2 y Now, finding an integrating factor IF = e − ∫ d y = e − y So, the solution is given by, u e − y = ∫ e − y × e 2 y d y ⇒ e − y t = e y + c ⇒ 1 tan x × e − y = e y + c Now, using the given