The solution curve of the differential equation y d x d y = x log e x - log e y + 1 , x > 0 , y > 0 passing through the point ( e , 1 ) is

Step-by-step solution

Given: y d x d y = x log e x - log e y + 1 , x > 0 , y > 0 ⇒ d x d y = x y log e x y + 1 Putting, x = v y ⇒ d x d y = v + y d v d x ⇒ v + y d v d y = v y y log e v y y + 1 ⇒ v + y d v d y = v log e v + 1 ⇒ v + y d v d y = v log e v + v ⇒ y d v d y = v log e v ⇒ d v v log e v = d y y ⇒ ∫ d v v log e v = ∫ d y y Putting, log e v = t ⇒ d v v = d t ⇒ ∫ d t t = ∫ d y y ⇒ log t = log y + c ⇒ log log e x y = log y + c Using point e , 1 ⇒ log log e e = log 1 + c ⇒ c = 0 ⇒ log log e x y = log y ⇒ log e x y = y