Let y = y ( x ) be the solution of the differential equation d y d x = tan x + y sin x sec x - sin x tan x , x ∈ 0 , π 2 satisfying the condition y π 4 = 2 . Then, y π 3 is

Step-by-step solution

Given: d y d x = tan x + y sin x sec x - sin x tan x ⇒ d y d x = tan x + y sin x 1 cos x - sin 2 x cos x ⇒ d y d x = tan x + y sin x cos 2 x cos x ⇒ d y d x = tan x + y sin x cos x ⇒ d y d x - 2 y sin 2 x = sec 2 x ⇒ IF = e - 2 ∫ cosec 2 x d x ⇒ IF = e - log cosec 2 x - cot 2 x ⇒ IF = 1 cosec 2 x - cot 2 x = cosec 2 x + cot 2 x ⇒ IF = 1 sin 2 x + cos 2 x sin 2 x ⇒ IF = 2 cos 2 x 2 sin x cos x ⇒ IF = cot x ⇒ y × cot x = ∫ cot x × sec 2 x d x ⇒ y × cot x = 2 ∫ cosec 2 x d x ⇒ y cot x = log cosec 2 x - cot 2 x + c Now