If the solution of the differential equation ( 2 x + 3 y - 2 ) d x + ( 4 x + 6 y - 7 ) d y = 0 , y ( 0 ) = 3 , is α x + β y + 3 log e | 2 x + 3 y - γ | = 6 , then α + 2 β + 3 γ is equal to ______.

Step-by-step solution

Given: ( 2 x + 3 y - 2 ) d x + ( 4 x + 6 y - 7 ) d y = 0 ⇒ d y d x = - 2 x + 3 y - 2 4 x + 6 y - 7 . . . i Let, 2 x + 3 y - 2 = t ⇒ 2 + 3 dy dx = dt dx . . . i i Also, 4 x + 6 y - 4 = 2 t ⇒ 4 x + 6 y - 7 = 2 t - 3 . . . i i i Using i , i i and i i i , ⇒ 1 3 d t d x - 2 = - t 2 t - 3 ⇒ d t d x - 2 = - 3 t 2 t - 3 ⇒ d t d x = - 3 t 2 t - 3 + 2 ⇒ d t d x = - 3 t + 4 t - 6 2 t - 3 ⇒ d t d x = t - 6 2 t - 3 ⇒ ∫ 2 t - 3 t - 6 d t = ∫ d x ⇒ ∫ 2 t - 12 t - 6 + 9 t - 6 · d t = x + c ⇒ 2 t + 9 log ( t - 6 ) = x + c ⇒ 2 ( 2 x