Let y = y x be the solution of the differential equation d y d x = 4 y 3 + 2 y x 2 3 x y 2 + x 3 , y 1 = 1 . If for some n ∈ N , y 2 ∈ [ n - 1 , n ) , then n is equal to _______.

Step-by-step solution

Given, d y d x = y x 4 y 2 + 2 x 2 3 y 2 + x 2 Let y = v x ⇒ d y d x = v + x d v d x So, d y d x = y x 4 y 2 + 2 x 2 3 y 2 + x 2 ⇒ v + x d v d x = v 4 v 2 + 2 3 v 2 + 1 ⇒ x d v d x = v 4 v 2 + 2 - 3 v 2 - 1 3 v 2 + 1 ⇒ ∫ 3 v 2 + 1 d v v 3 + v = ∫ d x x ⇒ ln v 3 + v = ln x + c ⇒ ln y x 3 + y x = ln x + c Given, y 1 = 1 ⇒ c = ln 2 So the equation becomes ln y x 3 + y x = ln x + ln 2 Now for y 2 So putting x = 2 in ln y x 3 + y x = ln x + ln 2 We get, ln y 3 8 + y