If y d y d x = x y 2 x 2 + ϕ y 2 x 2 ϕ ' y 2 x 2 , x > 0 , ϕ > 0 , and y ( 1 ) = - 1 , then ϕ y 2 4 is equal to:

Step-by-step solution

Given: y x d y d x = y 2 x 2 + ϕ y 2 x 2 ϕ ' y 2 x 2   . . . . 1 Let y x = t ⇒ y = x t ⇒ d y d x = t + x · d t d x ∴ t t + x d t d x = t 2 + ϕ t 2 ϕ ' t 2 ⇒ x t d t d x = ϕ t 2 ϕ ' t 2 ⇒ t · ϕ ' t 2 ϕ t 2 d t = 1 x d x Integrating both sides ∫ t · ϕ ' t 2 ϕ t 2 d t = ∫ 1 x d x Let ϕ t 2 = p ⇒ ϕ ' t 2 . 2 t = d p ⇒ 1 2 ∫ 1 p d p = ∫ 1 x d x ⇒