Let y = y ( x ) be a solution curve of the differential equation y + 1 tan 2 x d x + tan x d y + y d x = 0 , x ∈ 0 , π 2 . If lim x → 0 + x y x = 1 , then the value of y π 4 is:

Step-by-step solution

Given: y + 1 tan 2 x d x + tan x d y + y d x = 0 ⇒ y + 1 tan 2 x + y d x + tan x d y = 0 ⇒ tan x d y d x + y + 1 tan 2 x + y = 0 ⇒ d y d x + 1 + y tan x = - y cot x ⇒ d y d x + y tan x + cot x = - tan x This is a linear differential equation of the form d y d x + P x y = Q x .  I.F  = e ∫ ( tan x + cot x ) d x = e ∫ tan 2 x + 1 tan x d x = e ∫ sec 2 x tan x d x = e log e tan x = tan x   ∵ x ∈ 0 , π 2 Solution is y tan x = ∫ - tan 2 x d