Suppose the limit L = lim n → ∞ n ∫ 0 1 1 1 + x 2 n d x exists and is larger than 1 2 . Then,

Step-by-step solution

We have, L = lim n → ∞ n ∫ 0 1 1 1 + x 2 n d x 1 + x 2 n > 1 + n x 2 ⇒ 1 1 + x 2 n < 1 1 + n x 2 ⇒ ∫ 0 1 d x 1 + x 2 n < ∫ 0 1 d x 1 + n x 2 ⇒ ∫ 0 1 d x 1 + x 2 n < 1 n tan - 1 n x 0 1 ⇒ ∫ 0 1 d x 1 + x 2 n < 1 n tan - 1 n ⇒ L = lim n → ∞ n ∫ 0 1 1 1 + x 2 n d x < lim n → ∞ n n tan - 1 n ⇒ L < tan - 1 ∞ = π 2 ∴ 1 2 < L < 2   ∵ π 2 < 2