JEE Advanced Mathematics Question (2020) — Solution

Step-by-step solution

We know that  cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + … … … … ⇒ cos x ≥ 1 − x 2 2 ∴ ∫ 0 1 x cos x d x ≥ ∫ 0 1 x 1 − x 2 2 d x = x 2 2 − x 4 8 0 1 = 1 2 − 1 8 = 3 8 So, option  A  is correct. Now, we also know that  sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … … … … … ⇒ sin x ≥ x − x 3 3 ! ,   x ∈ 0 ,   1 ∴ ∫ 0 1 x sin x d x ≥ ∫ 0 1 x x − x 3 6 d x = x 3 3 − x 5 6 × 5 0 1 = 1 3 − 1 30 = 9 30 = 3 10 So, option  B  is correct. Now,  ∫ 0 1 x 2 cos x d x ≥ ∫ 0 1 x 2 1 − x 2 2 d x = x 3 3 - x 5 2 × 5 0 1 = 1 3 − 1 10 = 7 30 Also,  x 2 cos x ≤ x 2 ⇒ ∫ 0 1 x 2 cos x d x ≤ ∫ 0 1 x 2 d x ⇒ ∫ 0 1 x 2 cos x d x ≤ x 3 3 0 1 = 1 3 So,  7 30 ≤ ∫ 0 1 x 2 cos x d x ≤ 1 3 So, option  C  is incorrect. Now,  ∫ 0 1 x 2 sin x d x ≥ ∫ 0 1 x 2 x − x 3 3 ! d x = x 4 4 - x 6 6 × 6 0 1 = 1 4 − 1 36 = 8 36 = 2 9 So, option  D  is correct.