Let f : 0 ,   2 → ℝ be the function defined by f x = 3 − sin 2 π x sin π x − π 4 − sin 3 π x + π 4 . If α ,   β ∈ 0 ,   2 are such that x ∈ 0 ,   2   : f x ≥ 0 = α ,   β , then the value of β − α is _____
A. A
Let π x − π 4 = θ ⇒ π x = θ + π 4 ∵ f x ≥ 0 ⇒ 3 − sin 2 θ + π 2 sin θ − sin 3 θ + π ≥ 0 ⇒ 3 − cos 2 θ sin θ + sin 3 θ ≥ 0 ⇒ 2 + 2 sin 2 θ sin θ + 3 sin θ − 4 sin 3 θ ≥ 0 ⇒ sin θ 5 − 2 sin 2 θ ≥ 0 ⇒ sin θ ≥ 0 ⇒ θ ∈ 0 ,   π (Since, x ∈ 0 ,   2 ⇒ πx ∈ 0 ,   2 π ⇒ θ ∈ − π 4 ,   7 π 4 ) ⇒ sin θ ≥ 0 ⇒ θ ∈ 0 ,   π ⇒ π x ∈ π 4 , 5 π 4 ⇒ x ∈ 1 4 ,   5 4 ⇒ α = 1 4 ,   β = 5 4 Thus, β - α = 5 4 - 1 4 = 1 .
Related: Mathematics — Trigonometric Equations · All PYQ Banks