For any y ∈ ℝ , let cot - 1 y ∈ 0 , π and tan - 1 y ∈ - π 2 , π 2 . Then the sum of all the solutions of the equation tan - 1 6 y 9 - y 2 + cot - 1 9 - y 2 6 y = 2 π 3 for 0 < | y | < 3 , is equal to
C. 4 3 - 6
Given, tan - 1 6 y 9 - y 2 + cot - 1 9 - y 2 6 y = 2 π 3 And 0 < | y | < 3 ⇒ y ∈ - 3 , 3 - 0 Now taking, Case-l: When 6 y 9 - y 2 > 0 ⇒ y > 0 tan − 1 ⁡ 6 y 9 − y 2 + tan − 1 ⁡ 6 y 9 − y 2 = 2 π 3 ⇒ 2 tan - 1 6 y 9 - y 2 = 2 π 3 ⇒ tan - 1 6 y 9 - y 2 = π 3 ⇒ 6 y 9 - y 2 = 3 ⇒ 6 y = 9 3 - 3 y 2 ⇒ 3 y 2 + 6 y - 9 3 = 0 ⇒ 3 y 2 + 9 y - 3 y - 9 3 = 0 ⇒ y + 3 3 3 y - 3 = 0 y ≠ - 3 3    ∴ y = 3 as y ∈ ( 0 , 3 ) Now taking, Case-II: When 6 y 9 - y 2 < 0 ⇒ y < 0 tan - 1 6 y 9 - y 2 + π + tan - 1 6 y 9 - y 2 = 2 π 3 ⇒ 2 tan - 1 6 y 9 - y 2 = - π 3 ⇒ tan - 1 6 y 9 - y 2 = - π 6 ⇒ 6 y 9 - y 2 = - 1 3 ⇒ 6 3 y = - 9 + y 2 ⇒ y 2 - 6 3 y - 9 = 0 ⇒ y = 6 3 ± 108 + 36 2 = 6 3 ± 12 2 = 3 3 ± 6  As  y ∈ ( − 3 .0 ) ,   so   y = 3 3 − 6 ∴  Sum of solutions  = 3 + ( 3 3 − 6 ) = 4 3 − 6
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