The curve y=x e^ x has minimum value equal to

Let $y=x e^{x}$. Differentiate both side w.r.t. 'x'. \Rightarrow $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{xe}^{\mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(1+\mathrm{x})$Put $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=0$$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathrm{e}^{\mathrm{x}}(1+\mathrm{x})=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=-1 \end{array}$$Now,$\frac{\mathrmd^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(1+\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(\mathrm{x}+2)\left(\frac{\mathrmd^{2} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{2}}\right)_{(\mathrm{x}=-1)}=\frac{1}{\mathrm{e}}+$0>0 Hence,$\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}}$is minimum function and$\mathrm{y}_{\min }=-\frac{1}{\mathrm{e}} \text{. }