If S = x ∈ ℝ : sin - 1 x + 1 x 2 + 2 x + 2 - sin - 1 x x 2 + 1 = π 4 then ∑ x ∈ S sin x 2 + x + 5 π 2 - cos x 2 + x + 5 π is equal to _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

Step-by-step solution

Given, sin - 1 x + 1 x 2 + 2 x + 2 - sin - 1 x x 2 + 1 = π 4 ⇒ sin - 1 x + 1 x 2 + x + 2 = π 4 + sin - 1 x x 2 + 1 ⇒ x + 1 x 2 + x + 2 = sin π 4 + sin - 1 x x 2 + 1 ⇒ x + 1 x 2 + x + 2 = 1 2 × 1 x 2 + 1 + 1 2 × x x 2 + 1 ⇒ x + 1 x 2 + x + 2 = x + 1 2 x 2 + 1 ⇒ x + 1 2 x 2 + 1 - x 2 + x + 2 = 0 ⇒ x = - 1 or x 2 + x + 2 = 2 · x 2 + 1 Now solving, x 2 + x + 2 = 2 · x 2 + 1 we get, x 2 + x + 2 = 2 x 2 + 1 ⇒ x 2 - x = 0 ⇒ x = 0 ,   x