Let S n be the sum to n-terms of an arithmetic progression 3 , 7 , 11 , … … , if 40 < 6 n ( n + 1 ) ∑ k = 1 n S k < 42 , then n equals ____________.

Step-by-step solution

Given, AP : 3 , 7 , 11 , 15 , . . . ⇒ a n = 3 + n - 1 4 ⇒ a n = 4 n - 1 ⇒ S n = n 2 6 + 4 n - 4 ⇒ S n = n × 2 2 n + 1 2 ⇒ S n = 2 n 2 + n Now, solving ⇒ ∑ k = 1 n S k = 2 ∑ n = 1 n n 2 + ∑ n = 1 n n ⇒ ∑ k = 1 n S k = n n + 1 2 n + 1 3 + n n + 1 2 ⇒ ∑ k = 1 n S k = n n + 1 2 1 + 4 n + 2 3 Now, using 40 < 6 n n + 1 ∑ k = 1 n S k < 42 we get, ⇒ 40 < 6 n n + 1 × n n + 1 2 5 + 4 n 3 < 42 ⇒ 40 < 4 n + 5 < 42 ⇒ 35 < 4 n < 37 ⇒ n = 9