Let S n = 1 · ( n - 1 ) + 2 · ( n - 2 ) + 3 · ( n - 3 ) + … + ( n - 1 ) · 1 , n ⩾ 4 . The sum ∑ n = 4 ∞ 2 S n n ! - 1 ( n - 2 ) ! is equal to :

Step-by-step solution

 Let  S n = 1 · ( n - 1 ) + 2 · ( n - 2 ) + 3 · ( n - 3 ) + … + ( n - 1 ) · 1 ,   n ⩾ 4 . General   form   of   S n = ∑ r = 1 n - 1 r ( n - r ) = n n 2 - 1 6 2   S n n ! = 2 n n + 1 n - 1 6 n n - 1 n - 2 ! = ( n + 1 ) 3 ( n - 2 ) ! ⇒ ∑ n = 4 ∞ 2 S n n ! - 1 ( n - 2 ) ! ⇒ ∑ n = 4 ∞ ( n + 1 ) 3 ( n - 2 ) ! - 1 ( n - 2 ) ! = ∑ n = 4 ∞ ( n - 2 ) 3 ( n - 2 ) ! = 1 3 ∑ n = 4 ∞ 1 ( n - 3 )