If x < 1 , y < 1 and x ≠ 1 , then the sum to infinity of the following series x + y + x 2 + x y + y 2 + x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 + . . . . . is

Step-by-step solution

Let S = x + y + x 2 + x y + y 2 + x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 + . . . . . Multiply x - y both sides ⇒ x - y S = x - y ( x + y + x 2 + x y + y 2 + x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 + . . . ) ⇒ x - y S = x - y x + y + x - y x 2 + x y + y 2 + x - y x 3 + x 2 y + x y 2 + y 3 + . . . . . ⇒ x - y S = x 2 - y 2 + x 3 - y 3 + x 4 - y 4 + . . . . . ⇒ x - y S = x 2 + x 3 + x 4 + . . . . - y 2 + y 3 + y 4 + . . . . . S = 1 x - y x 2 1 - x - y 2 1 - y = 1 x - y x 2 - x 2 y - y 2 + x y 2 ( 1 - x ) ( 1 - y ) S = x