If 1+x^4+x^5= _ i=0 ^5 a_i (1+x^i ) , for all x in R , then a₂ is:

Step-by-step solution

aligned &1+x^4+x^5= _ i=0 ^5 a_i(1+x)^i &=a₀+a₁(1+x)^1+a₂(1+x)^2+a₃(1+x)^3 & +a₄(1+x)^4+a₅(1+x)^5 & 1+x^4+x^5 aligned aligned =a₀+a₁(1+x) &+a₂ (1+2 x+x^2 )+a₃ (1+3 x+3 x^2+x^3 ) &+a₄ (1+4 x+6 x^2+4 x^3+x^4 ) &+a₅ (1+5 x+10 x^2+10 x^3+5 x^4+x^5 ) & 1+x^4+x^5 =a₀+a₁+a₁ x+a₂+2 a₂ x+a₂ x^2+a₃+3 a₃ x +3 a₃ x^2+a₃ x^3+a₄+4 a₄ x+6 a₄ x^2+4 a₄ x^3+a₄ x^4+a₅ &+5 a₅ x+10 a₅ x^2+10 a₅ x^3+5 a₅ x^4+a₅ x^5 aligned aligned & 1+x^4+x^5 =& (a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅ ) &+x (a₁+2 a₂+3 a₃+4 a₄+5 a₅ ) +x^2 (a₂+ .& .3 a₃+6 a₄+10 a₅ )+x^3 (a₃+4