If x , y , z ∈ R , x + y + z = 5 , x 2 + y 2 + z 2 = 9 , then length of interval in which x lies is

Step-by-step solution

We have, x + y + z = 5 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⇒   x 2 + y 2 + ( 5 - x - y ) 2 = 9 ⇒   y 2 + x 2 - 5 x - 5 y + x y + 8 = 0 ⇒   y 2 + y ( x - 5 ) + x 2 - 5 x + 8 = 0 ⇒ Since y ∈ R ( x - 5 ) 2 - 4 x 2 - 5 x + 8 ≥ 0 ⇒   x 2 - 10 x + 25 - 4 x 2 + 20 x - 32 ≥ 0 ⇒   3 x 2 - 10 x + 7 ≤ 0 ⇒   3 x 2 - 7 x - 3 x + 7 ≤ 0 ⇒   ( 3 x - 7 ) ( x - 1 ) ≤ 0 ⇒   x ∈ 1 , 7 3 Length of interval = 7 3 - 1 =