Let f x = ∫ 2 x x 2 + 1 x 2 + 3 d x . If f 3 = 1 2 log e 5 - log e 6 , then f 4 is equal to

Step-by-step solution

Let I = ∫ 2 x x 2 + 1 x 2 + 3 d x Put x 2 = t ⇒ 2 x d x = d t I = ∫ 1 t + 1 t + 3 d t ⇒ I = 1 2 ∫ 2 t + 1 t + 3 d t ⇒ I = 1 2 ∫ 1 t + 1 - 1 t + 3 d t ⇒ I = 1 2 ln t + 1 - ln t + 3 + C ⇒ f x = 1 2 ln x 2 + 1 - ln x 2 + 3 + C Put x = 3 , then 1 2 ln 5 - ln 6 = 1 2 ln 10 - ln 12 + C 1 2 ln 5 - ln 6 = 1 2 ln 2 + ln 5 - ln 2 - ln 6 + C ⇒ C = 0 So, f x = 1 2 ln x 2 + 1 - ln x 2 + 3 ⇒ f 4 = 1 2 ln 17 - ln 19 or f 4 = 1 2 log e 17 - log e 19