The number of elements in the set S = \ (x, y, z): x, y, z ∈ Z, x +...

Given,

$x + 2y + 3z = 42, x, y, z \ge 0$

Now, taking cases for different value of $z$ we get,

$z = 0; x + 2y = 42$

Now, $y$ can take values \left\{0, 1, 2, . . . . 21\right\} \to 22\text{elements}$</p><p>Similarly, we get</p><p>$z = 1; x + 2y = 39 ⇒ 20\text{elements}$</p><p>$z = 2; x + 2y = 36 ⇒ 19\text{elements}$</p><p>$z = 3; x + 2y = 33 ⇒ 17\text{elements}$</p><p>$z = 4; x + 2y = 30 ⇒ 16\text{elements}$</p><p>$z = 5; x + 2y = 27 ⇒ 14\text{elements}$</p><p>$z = 6; x + 2y = 24 ⇒ 13\text{elements}$</p><p>$z = 7; x + 2y = 21 ⇒ 11\text{elements}$</p><p>$z = 8; x + 2y = 18 ⇒ 10\text{elements}$</p><p>$z = 9; x + 2y = 15 ⇒ 8\text{elements}$</p><p>$z = 10; x + 2y = 12 ⇒ 7\text{elements}$</p><p>$z = 11; x + 2y = 9 ⇒ 5\text{elements}$</p><p>$z = 12; x + 2y = 6 ⇒ 4\text{elements}$</p><p>$z = 13; x + 2y = 3 ⇒ 2\text{elements}$</p><p>$z = 14; x + 2y = 0 ⇒ 1\text{elements}$</p><p>Total :$169$