If α , - π 2 < α < π 2 is the solution of 4 cos θ + 5 sin θ = 1 , then the value of tan α is

Step-by-step solution

Given: 4 cos θ + 5 sin θ = 1 ⇒ 4 1 - tan 2 θ 2 1 + tan 2 θ 2 + 5 2 tan θ 2 1 + tan 2 θ 2 = 1 ⇒ 5 tan 2 θ 2 - 10 tan θ 2 - 3 = 0 ⇒ tan θ 2 = 10 ± 100 - 4 5 - 3 2 × 5 ⇒ tan θ 2 = 10 ± 160 10 ⇒ tan θ 2 = 5 ± 40 5 It is given that, α ∈ - π 2 , π 2 ⇒ α 2 ∈ - π 4 , π 4 ⇒ tan α 2 ∈ - 1 , 1 ⇒ tan α 2 = 5 - 40 5 We know that, tan θ = 2 tan θ 2 1 - tan 2 θ 2 ⇒ tan α = 2 5 - 40 5 1 - 5 - 40 5 2 ⇒ tan α = 2 5 - 40 5 2 40 5 - 8 5 ⇒ tan α = 5 - 40 40 - 4 ⇒ tan α = 40 - 20 24 ⇒ tan α = 10 - 10 12