If _ k=1 ^n k 3^k = 3 4 - 23 4 3¹⁰ for some integer n , then the number of solutions of the equation 3 2x - 10 x + 7 = 0 in the interval [0, n ] is :

Step-by-step solution

Let S_n = _ k=1 ^n k 3^k = 1 3 + 2 3^2 + 3 3^3 + + n 3^n . Multiplying by 1 3 , we get: 1 3 S_n = 1 3^2 + 2 3^3 + + n-1 3^n + n 3^ n+1 Subtracting the two equations: 2 3 S_n = 1 3 + 1 3^2 + 1 3^3 + + 1 3^n - n 3^ n+1 2 3 S_n = 1 3 (1 - 1 3^n ) 1 - 1 3 - n 3^ n+1 2 3 S_n = 1 2 (1 - 1 3^n ) - n 3^ n+1 S_n = 3 4 (1 - 1 3^n ) - n 2 3^n = 3 4 - 3 4 3^n - 2n 4 3^n = 3 4 - 2n+3 4 3^n Given S_n = 3 4 - 23 4 3¹⁰ , comparing the terms gives n = 10 . Now, consider the trigonometric equation: 3 2x - 10 x + 7 = 0 Using 2x = 2 ^