If z = x + i y , ∀ x , y ∈ R , i 2 = - 1 , x y ≠ 0 and z = 2 , then the imaginary part of z + 2 z - 2 cannot be

Step-by-step solution

Given, z = 2   ⇒ x 2 + y 2 = 4   &   x y ≠ 0 Let, z = x + i y = 2 cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ So, z + 2 z - 2 = x + 2 + i y x - 2 + i y = x 2 + y 2 - 4 + i y x - 2 - y x + 2 x - 2 2 + y 2 = - 4 y 8 - 4 x i So, the imaginary part = - 4 y 8 - 4 x = y x - 2 = - 2 sin ⁡ θ 2 - 2 cos ⁡ θ = - cot ⁡ θ 2 , θ ∈ 0 , 2 π Now, θ ≠ π 2 , π , 3 π 2 ⇒ cot ⁡ θ 2 ≠ - 1 , 0 , 1