The maximum negative integral value of b for which the point 2 b + 3 , b 2 lies above the line 3 x - 4 y - a a - 2 = 0 ,   ∀ a ∈ R is

Step-by-step solution

Let x 1 , y 2 lie on the line ∴   3 x 1 - 4 y 2 - a a - 2 = 0 ⇒ 4 y 2 = 3 x 1 - a a - 2 Now, y 2 < y 1 ⇒ 3 x 1 - a a - 2 4 < y 1 Putting x 1 = 2 b + 3 ,   y 1 = b 2 , we get, ⇒ 3 2 b + 3 - a a - 2 < 4 b 2 . ⇒ a 2 - 2 a + 4 b 2 - 6 b - 9 > 0 Now ∀ a ∈ R , D < 0 ⇒ 4 - 4 4 b 2 - 6 b - 9 < 0 ⇒ 1 - 4 b 2 + 6 b + 9 < 0 ⇒ 4 b 2 - 6 b + 10 > 0 ⇒ 2 b 2 - 3 b - 5 > 0 ⇒ 2 b - 5 b + 1 > 0 ⇒ b ∈