For any 3 × 3 matrix M , let | M | denote the determinant of M . Let I be the 3 × 3 identity matrix. Let E and F be two 3 × 3 matrices such that ( I - E F ) is invertible. If G = ( I - E F ) - 1 , then which of the following statements is (are) TRUE ?

Step-by-step solution

(A) G = ( I - E F ) - 1 ⇒ F G E = F ( I - E F ) - 1 E = E - 1 ( I - E F ) F - 1 - 1 ⇒ F G E = E - 1   F - 1 - I - 1 ⇒ | F G E | · E - 1   F - 1 - I = 1 ⇒ | F G E | · E - 1   F - 1 - I | F E | = | F E | ⇒ | F G E | | I - F E | = | F E | (B) & (D) ( I - F E ) · ( I + F G E ) = I + F G E - F E - F E · F G E = 0 = I + F G E - F E - F ( G - I ) E = I + F G E - F E - F G E + F E = I (C) ( I - E F ) G = I = G ( I - E F G ) ⇒ G - E F G = I = G - G E F &