Let u = 2 z + i z - k i , z = x + i y and k > 0 . If the curve represented by Re ( u ) + Im ( u ) = 1 intersects the y -axis at points P and Q where PQ = 5 then the value of k is

Step-by-step solution

u = 2 x + i y + i x + i y − k   i = 2 x + 2 y + 1 i x + y − k i × x − y − k i x − y − k i Real part of u = R e u = 2 x 2 + 2 y + 1 y − k x 2 + y − k 2 Imaginary part of u = Im u x 2 y + 1 − 2 x y − k x 2 + y − k 2 Now Re u + Im u = 1 2 x 2 + 2 y + 1 y − k + x 2 y + 1 − 2 x y − k x 2 + y − k 2 = 1 for y -axis put x = 0 ⇒ 2 y + 1 y − k y − k 2 = 1 ⇒ y − k y + 1 + k = 0 y = k ,   &#8