The value of the integral ∫ 0 π 4 x d x sin 4 2 x + cos 4 2 x equals:

Step-by-step solution

Let, I = ∫ 0 π 4 x d x sin 4 2 x + cos 4 2 x Let, 2 x = t then d x = 1 2 d t ⇒ I = 1 4 ∫ 0 π 2 t d t sin 4 t + cos 4 t ⇒ I = 1 4 ∫ 0 π 2 π 2 − t d t sin 4 π 2 − t + cos 4 π 2 − t ⇒ I = 1 4 ∫ 0 π 2 π 2 d t sin 4 t + cos 4 t − I ⇒ 2 I = π 8 ∫ 0 π 2 d t sin 4 t + cos 4 t ⇒ 2 I = π 8 ∫ 0 π 2 sec 4 t d t tan 4 t + 1 Let, tan t = y then sec 2 t d t = d y ⇒ 2 I = π 8 ∫ 0 ∞ 1 + y 2 d y 1 + y 4 ⇒ I = π 16 ∫ 0 ∞ 1 + 1 y 2 y 2 + 1 y 2 d y Putting, y − 1 y = p ⇒ I = π 16 ∫ − ∞ ∞ d p p 2 + 2 2 ⇒ I = π 16 2 tan − 1 p 2 − ∞ ∞ ⇒ I