120 π 3 ∫ 0 π x 2 sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x is equal to ______.

Step-by-step solution

Let, I = ∫ 0 π x 2 sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x Now using the property ∫ 0 2 a f x d x = ∫ 0 a f x d x + ∫ 0 a f 2 a - x d x we get, ⇒ I = ∫ 0 π 2 sin x cos x sin 4 x + cos 4 x x 2 - π - x 2 d x ⇒ I = ∫ 0 π 2 sin x cos x sin 4 x + cos 4 x 2 πx - π 2 d x ⇒ I = 2 π ∫ 0 π 2 x · sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x ⏟ I 1 - π 2 ∫ 0 π 2 sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x Now, solving I 1 = ∫ 0 π 2 x · sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x . . . . 1 ⇒ I 1 = ∫ 0 π 2 π 2 - x · sin x cos x sin 4 x + cos 4 x d x . . . . 2 Adding