For x ∈ - π 2 , π 2 , if y x = ∫ cosec x + sin x cosec x sec x + tan x sin 2 x d x and lim x → π 2 - y x = 0 then y π 4 is equal to

Step-by-step solution

Given: f x = ∫ cosec x + sin x cosec x sec x + tan x sin 2 x d x ⇒ f x = ∫ 1 sin x + sin x 1 sin x cos x + sin x cos x sin 2 x d x ⇒ f x = ∫ 1 + sin 2 x sin x 1 + sin 4 x sin x cos x d x ⇒ f x = ∫ 1 + sin 2 x cos x 1 + sin 4 x d x Let, sin x = t cos x d x = d t ⇒ f x = ∫ 1 + t 2 1 + t 4 d t ⇒ f x = ∫ 1 + 1 t 2 t 2 + 1 t 2 d t ⇒ f x = ∫ 1 + 1 t 2 t - 1 t 2 + 2 d t Let, t - 1 t = u ⇒ f x = ∫ 1 u 2 + 2 d u ⇒ f x = 1 2 tan - 1 u 2 + C ⇒ f x = 1 2 tan - 1 t - 1 t 2 + C ⇒ f x = 1 2 tan - 1 sin x - 1 sin x 2 + C ⇒ f x = 1