Let α ∈ 0 , 1 and β = log e 1 - α . Let P n x = x + x 2 2 + x 3 3 + … . + x n n , x ∈ 0 , 1 . Then the integral ∫ 0 α t 50 1 - t d t is equal to

Step-by-step solution

Let I = ∫ 0 α t 50 1 - t d t ⇒ I = - ∫ 0 α 1 - t 50 - 1 1 - t d t ⇒ I = - ∫ 0 α 1 - t 50 1 - t d t + ∫ 0 α 1 1 - t d t ⇒ I = - ∫ 0 α 1 + t + t 2 + . . . + t 49 d t - ln 1 - t 0 α ⇒ I = - t + t 2 2 + t 3 3 + . . . + t 50 50 0 α - ln 1 - α ⇒ I = - α + α 2 2 + α 3 3 + . . . + α 50 50 - ln 1 - α ⇒ I = - β + P 50 α