If l i m n → ∞ n + 1 k - 1 n k + 1 ( n k + 1 ) + ( n k + 2 ) + … + n k + n = 33 . lim n → ∞ 1 n k + 1 · 1 k + 2 k + 3 k + … + n k , then the integral value of k is equal to _____ .

Step-by-step solution

Given, l i m n → ∞ n + 1 k - 1 n k + 1 ( n k + 1 ) + ( n k + 2 ) + … + n k + n = 33 Taking LHS lim n → ∞ n + 1 k - 1 n k + 1 n k · n + 1 + 2 + … + n = lim n → ∞ n + 1 k - 1 n k + 1 · n 2 k + n n + 1 2 = lim n → ∞ n + 1 k - 1 · n 2 k + 1 + 1 n 2 n k + 1 = lim n → ∞ 1 + 1 n k + 1 + 1 n 2 = k + 1 2 Now taking RHS = 33 lim n → ∞ 1 n k + 1 1 k + 2 k + … + n k = 33 lim n → ∞ ∑ k = 1 n 1 n k n k = 33