If I m , n = ∫ 0 1 x m - 1 1 - x n - 1 d x , for m , n ⩾ 1 , and ∫ 0 1 x m - 1 + x n - 1 1 + x m + n d x = α I m , n , α ∈ R , then α equals ________.

Step-by-step solution

I m , n = ∫ 0 1 x m - 1 1 - x n - 1 d x = I n , m Now Let x = 1 y + 1 ⇒ d x = - 1 y + 1 2 d y So, I m , n = - ∫ ∞ 0 1 y + 1 m - 1 y n - 1 y + 1 n - 1 d y y + 1 2 = ∫ 0 ∞ y n - 1 1 + y m + n d y similarly I m , n = ∫ 0 ∞ y m - 1 1 + y m + n d y Now 2 I m , n = ∫ 0 ∞ y m - 1 + y n - 1 1 + y m + n d y = ∫ 0 ∞ y m - 1 + y n - 1 1 + y m + n d y = ∫ 0 1 y m - 1 + y n - 1 1 + y m + n d y + ∫ 1 ∞ y m - 1 + y n - 1 1 + y m + n d y &#91