If A = [ cases 2 & 3 0 & - 1 cases ], then the value of det ( A ^ 4...

Given, A = \left[\begin{cases}2 & 3 \\ 0 & - 1\end{cases}\right]

⇒ {A}^{2} = \left[\begin{cases}2 & 3 \\ 0 & - 1\end{cases}\right]\left[\begin{cases}2 & 3 \\ 0 & - 1\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}4 & 3 \\ 0 & 1\end{cases}\right]

⇒ {A}^{4} = \left[\begin{cases}4 & 3 \\ 0 & 1\end{cases}\right]\left[\begin{cases}4 & 3 \\ 0 & 1\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}16 & 15 \\ 0 & 1\end{cases}\right]

⇒ {A}^{5} = \left[\begin{cases}16 & 15 \\ 0 & 1\end{cases}\right]\left[\begin{cases}2 & 3 \\ 0 & - 1\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}32 & 33 \\ 0 & - 1\end{cases}\right]

⇒ {A}^{10} = \left[\begin{cases}32 & 33 \\ 0 & - 1\end{cases}\right]\left[\begin{cases}32 & 33 \\ 0 & - 1\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}1024 & 1023 \\ 0 & 1\end{cases}\right] . . . . \left(i\right)

Now, 2A = \left[\begin{cases}4 & 6 \\ 0 & - 2\end{cases}\right]

⇒ Adj\left(2A\right) = {\left[\begin{cases}- 2 & 0 \\ - 6 & 4\end{cases}\right]}^{T}

⇒ Adj\left(2A\right) = \left[\begin{cases}- 2 & - 6 \\ 0 & 4\end{cases}\right]

⇒ {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{2} = \left[\begin{cases}- 2 & - 6 \\ 0 & 4\end{cases}\right]\left[\begin{cases}- 2 & - 6 \\ 0 & 4\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}4 & - 12 \\ 0 & 16\end{cases}\right]

⇒ {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{4} = \left[\begin{cases}4 & - 12 \\ 0 & 16\end{cases}\right]\left[\begin{cases}4 & - 12 \\ 0 & 16\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}16 & - 240 \\ 0 & 256\end{cases}\right]

⇒ {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{5} = \left[\begin{cases}16 & - 240 \\ 0 & 256\end{cases}\right]\left[\begin{cases}- 2 & - 6 \\ 0 & 4\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}- 32 & - 1056 \\ 0 & 1024\end{cases}\right]

⇒ {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{10} = \left[\begin{cases}- 32 & - 1056 \\ 0 & 1024\end{cases}\right]\left[\begin{cases}- 32 & - 1056 \\ 0 & 1024\end{cases}\right] = \left[\begin{cases}1024 & - 1047552 \\ 0 & 1048576\end{cases}\right] . . . . . \left(ii\right)

From equation \left(i\right) \text{ and } \left(ii\right)$</p><p>$⇒ {A}^{10} - {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{10} = \left[$\begin{cases}1024 & 1023 \\ 0 & 1\end{cases}$\right] - \left[$\begin{cases}1024 & - 1047552 \\ 0 & 1048576\end{cases}$\right] = \left[$\begin{cases}0 & 1048575 \\ 0 & - 1048575\end{cases}$\right]$</p><p>$⇒ det\left({A}^{10} - {\left(Adj\left(2A\right)\right)}^{10}\right) = \left|$\begin{cases}0 & 1048575 \\ 0 & - 1048575\end{cases}$\right| = 0$</p><p>Let$E = det \left({A}^{4}\right) + det \left({A}^{10} - ( Adj ( 2A ) {)}^{10}\right)$</p><p>$⇒ E = {\left(det \left(A\right)\right)}^{4} + 0$</p><p>$⇒ E = {\left(- 2 - 0\right)}^{4}$</p><p>$⇒ E = 16$