Let the set of all a ∈ R such that the equation cos 2 x + a sin x = 2 a - 7 has a solution be [ p , q ] and r = tan 9 ° - tan 27 ° - 1 cot 63 ° + tan 81 ° , then p q r is equal to ________.

Step-by-step solution

Given: cos 2 x + a · sin x = 2 a - 7 ⇒ 1 - 2 sin 2 x + a × sin x = 2 a - 7 ⇒ a × sin x - 2 a = - 8 + 2 sin 2 x ⇒ a sin x - 2 = 2 sin 2 x - 4 ⇒ a ( sin x - 2 ) = 2 ( sin x - 2 ) ( sin x + 2 ) ⇒ sin x = 2 Not possible , a = 2 ( sin x + 2 ) We know that, - 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ a ∈ [ 2 , 6 ] ⇒ p = 2 , q = 6 Now, r = tan 9 ° + cot 9 ° - tan 27 ° - cot 27 ° ⇒ r = cos 2 9 ° + sin 2 9 ° sin 9 ° · cos 9 ° - cos 2 27 ° + sin 2 27 ° sin 27 ° · cos 27 ° ⇒ r = 1 sin 9 ° · cos 9 ° - 1 sin 27 ° · cos 27 ° ⇒ r = 2 2 × sin 9 ° · cos 9 °