The value of ∫ 0 ∞ d x 1 + x 4 is equal to

Step-by-step solution

Let, I = ∫ 0 ∞ x 2 + 1 - x 2 1 + x 4 d x I = ∫ 0 ∞ x 2 1 + x 4 d x + ∫ 0 ∞ 1 - x 2 1 + x 4 d x I = I 1 + I 2 I 2 = ∫ 0 ∞ 1 x 2 - 1 x 2 + 1 x 2 d x Let, x + 1 x = t I 2 = ∫ ∞ ∞ d t t 2 - 2 = 0 I = ∫ 0 ∞ x 2 1 + x 4 d x also I = ∫ 0 ∞ 1 1 + x 4 d x So, 2 I = ∫ 0 ∞ 1 + x 2 1 + x 4 d x I = 1 2 ∫ 0 ∞ 1 + 1 x 2 x 2 + 1 x 2 d x Let, x - 1 x = t I = 1 2 ∫ - ∞ ∞ d t t 2 + 2 I = 1 2 2 tan - 1 ⁡ t 2 - ∞ ∞ = 1 2 2 π 2 + π 2 = π 2 2