Consider the matrix A = x 2 y z 2 y z x z x 2 y and A A T = 9 I . If T r A > 0 and x y z = 1 6 , then the value of x 3 + 8 y 3 + z 3 is equal to (where, T r A ,   I and A T denote the trace of matrix A i.e. the sum of all the principal diagonal elements, the identity matrix of the same order of matrix A and the transpose of matrix A respectively)

Step-by-step solution

T r A > 0 ⇒ x + z + 2 y > 0 A A T = x 2 y z 2 y z x z x 2 y x 2 y z 2 y z x z x 2 y = x 2 + 4 y 2 + z 2 2 y x + 2 y z + x z 2 y x + 2 y z + z x 2 y x + 2 y z + x z 4 y 2 + x 2 + z 2 2 y z + 2 x y + z x z x + 2 x y + 2 y z 2 x y + 2 y z + z x x 2 + 4 y 2 + z 2 ∵ A A T = 9 I ⇒ x 2 + 4 y 2 + z 2 = 9 ,   2 y x + 2 y z + x z = 0 x + 2 y + z 2 = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 2 x y + 2 y z + x z x + 2 y + z 2 = 9 ⇒ x + 2 y + z = 3   A s ,   x + 2 y + z > 0 x 3 + 8 y 3 + z 3 - 6 x