If the real part of the complex number z = 3 + 2 i cos θ 1 - 3 i cos θ , θ ∈ 0 , π 2 is zero, then the value of sin 2 3 θ + cos 2 θ is equal to ______.

Step-by-step solution

We have, z = 3 + 2 i cos θ 1 - 3 i cos θ , θ ∈ 0 , π 2 ⇒ z = 3 + 2 i cos θ 1 - 3 i cos θ × 1 + 3 i cos θ 1 + 3 i cos θ ⇒ z = 3 + 2 i cos θ 1 + 3 i cos θ 1 + 9 cos 2 θ ⇒ z = 3 - 6 cos 2 θ + 11 i cos θ 1 + 9 cos 2 θ Now, Re z = 3 - 6 cos 2 θ 1 + 9 cos 2 θ = 0 ⇒ 3 - 6 cos 2 θ = 0 ⇒ cos 2 θ = 3 6 ⇒ cos 2 θ = 1 2 ⇒ cos θ = ± 1 2 ⇒ θ = π 4 ,   &