The value 9 ∫ 0 9 10 x x + 1 dx , where t denotes the greatest integer less than or equal to t , is _____.

Step-by-step solution

Let, I = ∫ 0 9 10 x x + 1 d x The square of integers are 0 , 1 , 4 , 9 , . . . ⇒ 0 = 10 x x + 1 ⇒ x = 0 . . . i ⇒ 1 = 10 x x + 1 ⇒ x + 1 = 10 x ⇒ x = 1 9 . . . i i ⇒ 4 = 10 x x + 1 ⇒ 4 x + 4 = 10 x ⇒ x = 2 3 . . . i i i ⇒ 9 = 10 x x + 1 ⇒ 9 x + 9 = 10 x ⇒ x = 9 . . . i v Now, from the above equations using the law ∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c d f x d x + ∫ d b f x d x ⇒ I = ∫ 0 1 9 0 d x + ∫ 1 9 2 3 1 d x + ∫ 2 3 9 2 d x ⇒ I = 2 3 - 1 9 + 2 9 - 2 3 ⇒ I = 155 9 ⇒ 9 I = 155