If ∫ 1 3 3 log e x dx = m n log e n 2 e , where m and n are coprime natural numbers, then m 2 + n 2 - 5 is equal to _____ .

Step-by-step solution

Let I = ∫ 1 3 3 ln x d x ⇒ I = ∫ 1 3 1 ln x d x + ∫ 1 3 ln x d x ⇒ I = - ∫ 1 3 1 ln x d x + ∫ 1 3 ln x d x Since, ln x < 0   for   x ∈ 0 , 1 . ⇒ I = - x ln x - x 1 3 1 + x ln x - x 1 3 ⇒ I = - 0 - 1 - - 1 3 ln 3 - 1 3 + 3 ln 3 - 3 - 0 - 1 ⇒ I = 2 3 - 1 3 ln 3 + 3 ln 3 - 2 ⇒ I = 8 3 ln 3 - 4 3 ⇒ I = 4 3 2 ln 3 - 1 ⇒ I = 4 3 ln 3 2 - ln e ⇒ I = 4 3 ln 3 2 e So, m = 4 ,   n = 3 Hence, m 2 + n 2 - 5 = 16 + 9 - 5