If ∫ − π / 2 π / 2 8 2 cos x d x 1 + e sin x 1 + sin 4 x = α π + β log e 3 + 2 2 , where α , β are integers, then α 2 + β 2 equals __________

Step-by-step solution

Given: I = ∫ − π 2 π 2 8 2 cos x 1 + e sin x 1 + sin 4 x d x . . . i Applying ∫ a b f x d x = ∫ a b f a + b - x d x rule we get, ⇒ I = ∫ − π 2 π 2 8 2 cos x e sin x 1 + e sin x 1 + sin 4 x d x . . . i i Adding i and i i ⇒ 2 I = ∫ − π 2 π 2 8 2 cos x 1 + sin 4 x d x ⇒ I = ∫ 0 π 2 8 2 cos x 1 + sin 4 x d x Putting, sin x = t ⇒ I = ∫ 0 1 8 2 1 + t 4 d x ⇒ I = 4 2 ∫ 0 1 1 + 1 t 2 t 2 + 1 t 2 − 1 − 1 t 2 t 2 + 1 t 2 d t ⇒ I = 4 2 ∫ 0 1 1 + 1 t 2 t − 1 t 2 + 2 − 1 − 1 t 2 t + 1 t 2 − 2 d t Let t − 1 t = z and t + 1 t = k