Let x denote the fractional part of x and f x = cos − 1 1 − x 2 sin − 1 1 − x x − x 3 , x ≠ 0 . If L and R respectively denotes the left hand limit and the right hand limit of f x at x = 0 , then 32 π 2 L 2 + R 2 is equal to __________.

Step-by-step solution

Given: f x = cos − 1 1 − x 2 sin − 1 1 − x x − x 3 ⇒ RHL = lim x → 0 + f x = lim h → 0 f 0 + h ⇒ RHL = lim h → 0 f h ⇒ RHL = lim h → 0 cos − 1 1 − h 2 sin − 1 1 − h h 1 − h 2 ⇒ RHL = lim h → 0 cos − 1 1 − h 2 h sin − 1 1 1 Let cos − 1 1 − h 2 = θ ⇒ cos θ = 1 − h 2 ⇒ RHL = π 2 lim θ → 0 θ 1 − cos θ ⇒ RHL = π 2 lim θ → 0 1 1 − cos θ θ 2 ⇒ RHL = π 2 1 1 2 ⇒ RHL = π 2 ⇒ R = π 2 Now finding left hand limit, ⇒ LHL = lim x → 0 − f x ⇒ LHL = lim h → 0 f − h ⇒ LHL = lim h → 0 cos − 1 1 − − h 2 sin − 1 1 − − h − h − − h 3 ⇒