If tan ⁡ θ = 3 tan ⁡ ϕ , then the maximum value of tan 2 ⁡ θ - ϕ is (where, tan ⁡ ϕ > 0 )

Step-by-step solution

tan ⁡ θ = 3 tan ⁡ ϕ tan ⁡ θ - ϕ = tan ⁡ θ - tan ⁡ ϕ 1 + tan ⁡ θ tan ⁡ ϕ = 2 tan ⁡ ϕ 1 + 3 tan 2 ⁡ ϕ = 2 cot ⁡ ϕ + 3 tan ⁡ ϕ Using AM ≥ GM cot ⁡ ϕ + 3 tan ⁡ ϕ 2 ≥ 3 ⇒   2 cot ⁡ ϕ + 3 tan ⁡ ϕ ≤ 1 3 ⇒ tan ⁡ θ - ϕ ≤ 1 3 ⇒ tan 2 ⁡ θ - ϕ ≤ 1 3