Among the two statements ( S _ 1 ): (p ⇒ q) ∧ (p ∧ (~ q)) is a...

Given,

${S}_{1}: \left(p ⇒ q\right) ∧ \left(p ∧ ~ q\right)$

$≡ \left(~ p ∨ q\right) ∧ \left(p ∧ ~ q\right)\left\{\text{as}A ⇒ B ≡ ~ A ∨ B\right\}$

$≡ \left(~ p ∧ \left(p ∧ ~ q\right)\right) ∨ \left(q ∧ \left(p ∧ ~ q\right)\right)$

$≡ \left(f ∧ ~ q\right) ∨ \left(f ∧ p\right)$

$≡ f ∨ f ≡ f$

\left({S}_{2}\right): \left(p ∧ q\right) ∨ \left(\left(~ p\right) ∧ q\right) ∨ \left(p ∧ \left(~ q\right)\right) ∨ \left(\left(~ p\right) ∧ \left(~ q\right)\right)$</p><p>$≡ \left(p ∧ q\right) ∨ \left(~ p ∧ q\right) ∨ \left(p ∧ ~ q\right) ∨ \left(~ p ∧ ~ q\right)$</p><p>$≡ \left(\left(p ∨ ~ p\right) ∧ q\right) ∨ \left(\left(p ∨ ~ p\right) ∧ ~ q\right)$</p><p>$≡ \left(t ∧ q\right) ∨ \left(t ∧ ~ q\right) ≡ q ∨ ~ q ≡ t$

Hence, both statement are true.