The value of ^ 2 10 ° – 10 ° 50 ° + co s ^ 2 50 ° is

$\cos^{2}10 ° + \cos^{2}50 ° - \cos 10 ° \cos 50 °$

Using, $\cos 2x = 2\cos^{2}x - 1,$ $⇒ \cos^{2}x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2},$ we get

$= \dfrac{1}{2}\left[1 + \cos 20 ° + 1 + \cos 100 ° - 2\cos 50 ° \cos 10 °\right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[2 + \cos 100 ° + \cos 20 ° - \cos 60 ° - \cos 40 °\right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[2 + \cos 100 ° + \cos 20 ° - \dfrac{1}{2} - \cos 40 °\right]$

Using, $cosC + cosD = 2\cos \left(\dfrac{C + D}{2}\right)\cos \left(\dfrac{C - D}{2}\right),$ we get

$= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{3}{2} + 2cos {60}^{°}\cos 40 ° - \cos 40 °\right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{3}{2} + 2 \times \dfrac{1}{2} \times \cos 40 ° - \cos 40 °\right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{3}{2} + \cos 40 ° - \cos 40 °\right]$

$= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} .$